已知2a+38b=9,七种方法计算ab最大值详细步骤

1、介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在2a+38b=9条件下的最大值。

2、根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。ab=a(9/38-1/19*a)=-1/19*a^2+9/38*a=-1/19(a-9/4)^2+81/304，则当a=9/4时，ab有最大值为81/304。

3、设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。2a+38b=9,2a+38p/a=9,2a^2-9a+38p=0,对a的二次方程有：判别式△=81-304p≥0,即：p≤81/304,此时得ab=p的最大值=81/304。

4、将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。由2a+38b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，设2a=9(cost像粜杵泳)^2，38b=9(sint)^2，则：a=(cost)^2,b=9/38(sint)^2,代入得：ab=(cost)^2*9/38(sint)^2,=81/304*(sin2t)^2,当sin2t=±1时，ab有最大值=81/304。

5、设2a=9/2+t,38b=9/2-t，则：a=(1/2)(9/2+t),b=(1/38)(9/2-t)此时有：ab=1/76*(9/2+t)*(9/2-t)=1/76*(81/4-t^2)。当t=0时，即：ab≤81/304,则ab的最大值为81/304。

6、当a，b均为正数时，则：∵2a+38b≥2√76*ab,∴(2a+38b)^2≥304*ab,81≥304*ab,即：ab≤81/304,则ab的最大值为81/304。

7、如图，设直线2a+38b=9上的任意一点P(a0,b0),op与x轴的夹角为θ，则： 2a0+38b0租涫疼迟=9,b0=a0tanθ, 2a0+38a0tanθ=9，得a0=9/(2+38tanθ), |a0*b0|=81*|tanθ|/(2+38tanθ)^2,=81/[(4/|tanθ|)+152+1444|tanθ|]≤81/(152+152)=81/304。则ab的最大值=81/304.

8、设函数f(a,b)=ab-λ(2a+38b-9),则偏导数f'a=b-2λ,f'b=a-38λ,f'λ=2a+38b-9。令f'a=f'b=f'λ=0，则：b=2λ,a=38λ。进一步代入得：76λ+76λ=9,即λ=9/152.则有a=9/4,b=9/76.ab的最大值=9/4*9/76=81/304。