介绍七种方法计算已知2a+29b=9,求ab最大值步骤

1、思路一：直接代入法根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。ab=a(1/3-2/27*a)=-2/27*a^2+1/3*a=-2/27(a-9/4)^2+3/8，则当a=9/4时，ab有最大值为3/8。

2、思路二：判别式法设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。2a+27b=9,2a+27p/a=9,2a^2-9a+27p=0,对a的二次方程有：判别式△=81-216p≥0,即：p≤3/8,此时得ab=p的最大值=3/8。

3、思路三：三角换元法将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。由2a+27b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，设2a=9(cost)^2，27b=9(sint)^2，则：a=(cost)^2,b=1/3(sint)^2,代入得：ab=(cost)^2*1/3(sint)^2,=3/8*(sin2t)^2,当sin2t=±1时，ab有最大值=3/8。

4、思路四：中值代换法设2a=9/2+t,27b=9/2-t，则：a=(1/2)(9/2+t),b=(1/27)(9/2-t)此时有：ab=1/54*(9/2+t)*(9/2-t)=1/54*(81/4-t^2)。当t=0时，即：ab≤3/8,则ab的最大值为3/8。

5、思路五：不等式法当a，b均为正数时，则：∵2a+27b≥2√54*ab,∴(2a+27b)^2≥216*ab,81≥216*ab,即：ab≤3/8,则ab的最大值为3/8。

6、思路六：数形几何法如图，设直线2a+27b=9上的任意一点P(a0,b0),

7、思路七:构造函数法设函数f(a,b)=ab-λ(2a+27b-9),则偏导数f'a=b-2λ,f'b=a-27λ,f'λ=2a+27b-9。令f'a=f'b=f'λ=0，则：b=2λ,a=27λ。进一步代入得：54λ+54λ=9,即λ=1/12.则有a=9/4,b=1/6.ab的最大值=9/4*1/6=3/8。