介绍七种方法计算已知2a+32b=9,求ab最大值步骤

1、主要内容：本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在2a+32b=9条件下的最大值。主要公式：1.(sina)^2+(cosa)^2=1。2.ab≤(a+b)^2/2。

2、思路一：直接代入法根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。ab=a(9/32-1/16*a)=-1/16*a^2+9/32*a=-1/16(a-9/4)^2+81/256，则当a=9/4时，ab有最大值为81/256。

3、思路二：判别式法设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。2a+32b=9,2a+32p/a=9,2a^2-9a+32p=0,对a的二次方程有：判别式△=81-256p≥0,即：p≤81/256,此时得ab=p的最大值=81/256。

4、思路三：三角换元法将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。由2a+32b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，设2a=9(cost)^2，32b=9(sint)^2，则：a=(cost)^2,b=9/32(sint)^2,代入得：ab=(cost)^2*9/32(sint)^2,=81/256*(sin2t)^2,当sin2t=±1时，ab有最大值=81/256。

5、思路四：中值代换法设2a=9/2+t,32b=9/2-t，则：a=(1/2)(9/2+t),b=(1/32)(9/2-t)此时有：ab=1/64*(9/2+t)*(9/2-t)=1/64*(81/4-t^2)。当t=0时，即：ab≤81/256,则ab的最大值为81/256。

6、思路五：不等式法当a，b均为正数时，则：∵2a+32b≥2√64*ab,∴(2a+32b)^2≥256*ab,81≥256*ab,即：ab≤81/256,则ab的最大值为81/256。

7、思路六：数形几何法如图，设直线2a+32b=9上的任意一点P(a0,b0)

8、思路七:构造函数法设函数f(a,b)=ab-λ(2a+32b-9),则偏导数f'a=b-2λ,f'b=a-32λ,f'λ=2a+32b-9。令f'a=f'b=f'λ=0，则：b=2λ,a=32λ。进一步代入得：64λ+64λ=9,即λ=9/128.则有a=9/4,b=9/64.ab的最大值=9/4*9/64=81/256。