已知2a+36b=9,七种方法计算ab最大值详细步骤

1、思路一：直接代入法根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。ab=a(1/4-1/18*a)=-1/18*a^2+1/4*a=-1/18(a-9/4)^2+9/32，则当a=9/4时，ab有最大值为9/32。

2、思路二：判别式法设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。2a+36b=9,2a+36p/a=9,2a^2-9a+36p=0,对a的二次方程有：判别式△=81-288p≥0,即：p≤9/32,此时得ab=p的最大值=9/32。

3、思路三：三角换元法将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。由2a+36b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，设2a=9(cost)^2，36b=9(sint)^2，则：a=(cost)^2,b=1/4(sint)^2,代入得：ab=(cost)^2*1/4(sint)^2,=9/32*(sin2t)^2,当sin2t=±1时，ab有最大值=9/32。

4、思路四：中值代换法设2a=9/2+t,36b=9/2-t，则：a=(1/2)(9/2+t),b=(1/36)(9/2-t)此时有：ab=1/72*(9/2+t)*(9/2-t)=1/72*(81/4-t^2)。当t=0时，即：ab≤9/32,则ab的最大值为9/32。

5、思路五：不等式法当a，b均为正数时，则：∵2a+36b≥2√72*ab,∴(2a+36b)^2≥288*ab,81≥288*ab,即：ab≤9/32,则ab的最大值为9/32。

6、思路六：数形几何法如图，设直线2a+36b=9上的任意一点P(a0,b0),op与x轴的夹角为θ，则： 2a0+36b0=9,b0=a0tanθ, 2a0+36a0tanθ=9，得a0=9/(2+36tanθ), |a0*b0|=81*|tanθ|/(2+36tanθ)^2,=81/[(4/|tanθ|)+144+1296|tanθ|]≤81/(144+144)=9/32。则ab的最大值=9/32.

7、思路七:构造函数法设函数f(a,b)=ab-λ(2a+36b-9),则偏导数f'a=b-2λ,f'b=a-36λ,f'λ=2a+36b-9。令f'a=f'b=f'λ=0，则：b=2λ,a=36λ。进一步代入得：72λ+72λ=9,即λ=1/16.则有a=9/4,b=1/8.ab的最大值=9/4*1/8=9/32。