介绍七种方法计算已知2a+31b=9,求ab最大值步骤

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab已知条件下的最大值。

思路一：直接代入法

1、根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。ab=a(9/31-2/31*a)=-2/31*a^2+9/31*a=-2/31(a-9/4)^2+81/248，则当a=9/4时，ab有最大值为81/248。

思路二：判别式法

1、设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。2a+31b=9,2a+31p/a=9,2a^2-9a+31p=0,对a的二次方程有：判别式△=81-248p≥0,即：p≤81/248,此时得ab=p的最大值=81/248。

思路三：三角换元法

1、将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。由2a+31b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，设2a=9(cost)^2，31b=9(sint)^2，则：a=(cost)^2,b=9/31(sint)^2,代入得：ab=(cost)^2*9/31(sint)^2,=81/248*(sin2t)^2,当sin2t=±1时，ab有最大值=81/248。

思路四：中值代换法

1、设2a=9/2+t,31b=9/2-t，则：a=(1/2)(9/2+t),b=(1/31)(9/2-t)此时有：ab=1/62*(9/2+t)*(9/2-t)=1/62*(81/4-t^2)。当t=0时，即：ab≤81/248,则ab的最大值为81/248。

思路五：不等式法

1、当a，b均为正数时，则：∵2a+31b≥2√62*ab,∴(2a+31b)^2≥248*ab,81≥248*ab,即：ab≤81/248,则ab的最大值为81/248。

思路六：数形几何法

1、设直线2a+31b=9上的任意一点P(a0,b0)

思路七:构造函数法

1、设函数f(a,b)=ab-λ(2a+31b-9),则偏导数f'a=b-2λ,f'b=a-31λ,f'λ=2a+31b-9。令f'a=f'b=f'λ=0，则：b=2λ,a=31λ。进一步代入得：62λ+62λ=9,即λ=9/124.则有a=9/4,b=9/62.ab的最大值=9/4*9/62=81/248。