用Mathematica处理高等数学——幂级数问题初探

由于Mathematica可以进行精确的符号计算，所以，有必要介绍一下用Mathematica处理高等数学问题的技巧！ 现在初步探索一下关于级数的问题。

2、 二项式展开（只是展开一部分）：Series[(a + b)^n, {b, 0, 3}] 这里展开了四项。

5、 如果难以求出函数的反函数，用InverseSeries命令可以直接求其反函数的级数。如求f(x)反函数的幂级数：InverseSeries[Series[f[y], {y, 0, 3}], x]

2、 调和级数不收敛！Sum[1/n, {n, 1, Infinity}] 但是，Mathematica能精确地求出它的部分和：Sum[1/n, {n, 1, 99}]

3、 类似于调和级数的p-级数（p>1）都是收敛的：Sum[1/n^2, {n, 1, Inf足毂忍珩inity}] 多列举几个看看：Table[Sum[1/n^p, {n, 1, Infinity}], {p, 2, 10, 1}] 当p是奇数的时候，无法给p-级数得出明确的结果，但是这些级数都是收敛的！所以用Zeta函数来表示。

4、 不规则级数求和，也有可能得到和函数。例如：Sum[1/(a^2 + x^2), {x, 1, Infinity}]Sum[1/(a^2 + x^2), {a, 1, Infinity}]

5、 连续自然数的幂和公式的Mathematica代码（幂指数分别是1， 2， 3， 4， 5）：Table[Sum[a^b, {a, 1, x}], {b, 5}]

2、 有些幂级数的系数要用特殊函数来表示，如函数1/(x^2 - 3 x + 1)的幂级数系数要用到切比雪夫函数：SeriesCoefficient[1/(1 - 3 x + x^2), {x, 0, n}]

4、 绘制一个关于各种函数幂级数的表格：hanshuliebiao = {Exp[x], Sin[x], Cos[x], 1/(1 + x), Log[1 + x柯计瓤绘], ArcTan[x]};Grid[Join[{{f[x], Text["级数系数"]}}, Transpose[{hanshuliebiao, Map[SeriesCoefficient[#, {x, 0, n}] &, flist]}]], Background -> {None, {{None, GrayLevel[.9]}}, {{1, 1} -> Hue[.6, .4, 1], {1, 2} -> Hue[.6, .4, 1]}}, BaseStyle -> {FontFamily -> Times, FontSize -> 12}, Dividers -> All, FrameStyle -> Hue[.6, .4, .8], Spacings -> {2, 1}] // TraditionalForm